iSES - Internet School Experimental System

 

Home News Remote Laboratory System iSES Contacts

Vlastní a vynucené oscilace

Physical Background

Harmonický oscilátor

Těleso vykonávající harmonický kmitavý pohyb nazýváme harmonický oscilátor. Může jím být například těleso na pružině (obr. 1), nebo atom či molekula pevné látky. Když při jeho pohybu zanedbáme odpor prostředí, hovoříme o netlumeném harmonickém oscilátoru. Můžeme ukázat, že kmitání je vždy harmonické, když je působící síla úměrná výchylce z rovnovážné polohy.

Máme pružinu, na jejíž prodloužení o r je potřebná síla F = -kr, kde k je tuhost pružiny. Pohybová rovnice harmonického oscilátoru, který je tvořen touto pružinou a závažím hmotnosti m, je (jako aplikace druhého Newtonova zákona ΣF = ma):

Substitucí ω₀ = (k/m)^1/2 můžeme vztah (1) vyjádřit ve tvaru: Všeobecným řešením této rovnice je potom v jednorozměrném případě ve směru osy y (r = jy) kde y je okamžitá výchylka, A je amplituda pohybu, [A] = m, ω_o je vlastní úhlová rychlost harmonického oscilátoru [ω_o] = rad s⁻¹ a φ, [φ] = rad, je jeho počáteční fáze (obr. 2).

Pro vlastní úhlovou rychlost harmonického oscilátoru můžeme napsat:

kde f_o je vlastní frekvence a T_o vlastní perioda harmonického oscilátoru.

Tlumený oscilátor

Při pohybu harmonického oscilátoru v reálných podmínkách působí vždy třecí síly, které amplitudu kmitavého pohybu zmenšují a po určitém čase kmitání přestane. Takový oscilátor nazýváme tlumený oscilátor.

Třecí síla je při malých rychlostech přímo úměrná okamžité rychlosti tělesa v hmotnosti m:

Zavedeme veličinu b = k_b/(2m), která se nazývá konstanta útlumu, [b] = s⁻¹. Pro malé tlumení (b < ω_o) má rovnice (6) řešení, (když si uvědomíme, že podle obr. 3 platí r = jy):

kde ω_v je vlastní frekvence tlumeného oscilátoru ω_v = (ω_o² − b²)^1/2.

Nucené kmity oscilátoru

Významným případem kmitavého pohybu jsou takzvané nucené oscilace, při kterých vnější síla nutí látkový objekt kmitat s všeobecně jiným kmitočtem než je kmitočet vlastních kmitů. Když se však oba kmitočty k sobě přibližují, vzniká důležitý jev, který nazýváme rezonance. Předpokládejme, že na závaží z obr. 1 působí vynucující periodická sila:

kde F_o je amplituda a ω_v je úhlová frekvence vynucující síly F_v.

Když vezmeme v úvahu všechny síly, které způsobují pohyb závaží, můžeme napsat pohybovou rovnici pro pohyb v ose y:

a po úpravě: Řešením této rovnice je kde A_v a φ_v jsou amplituda a počáteční fáze vynucených kmitů:

Z grafů na obr. 6 vyplývá mnoho zajímavých poznatků pro vynucený harmonický pohyb. Za prvé, je zřejmé, že amplituda vynucených kmitů A_v (viz obr. 6 a) je funkcí úhlové frekvence ω_v vynucující síly. Maximum amplitudy pro vynucený harmonický pohyb nastává pro takzvanou rezonanční frekvenci:

kde amplituda A_{v res} = F_o / (m2b(ω_o² - b²)^1/2. Také fáze vynucených kmitů φ_v, (nebo fázový posun mezi vynucující silou F_v a výchylkou vynucených kmitů y), je závislá na frekvenci vynucující síly ω_v, a při rezonanci se rovná φ_{v res} = -π/2. (viz obr. 6 b). Tuto závislost využijeme i pro měření.

Závislosti na obr. 6 můžeme využít k určení přenosu energie na oscilátor. Tento proces je velmi důležitý v přírodě a  všeobecně v technologiích, protože reprezentuje selektivní přenos energie mezi vysílačem energie a oscilátorem jen v určitých intervalech frekvencí, resp. vlnových délek. Tento jev tvoří např. základ selektivního přenosu telekomunikačních signálů, nebo absorbci určitých vlnových délek slunečního záření určitými molekulami, které, mimo jiného, dosáhnou povrchu Země.

Přenos energie za jednotku času na oscilátor (nebo okamžitý výkon P_v, který je funkcí času) z vynucujícího zdroje je:

Střední hodnota energie přenesená za jednu periodu harmonického pohybu oscilátoru ze zdroje vynucující síly na oscilátor závisí na úhlové frekvenci vynucující síly ω_v. Více informací můžete najít v práci R. B. Lindsay, Physical Mechanics, 3rd ed., Van Nostrand 1962).

Obr. 7 prezentuje přenos střední hodnoty energie po dobu jedné periody harmonického pohybu na oscilátor ze zdroje vynucující síly jako funkci úhlové frekvence ω_v, pro dvě různé hodnoty tlumení b.

Autor studijního textu: Prof. Dr. František Schauer, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

---