iSES - Internet School Experimental System

 

Home News Remote Laboratory System iSES Contacts

Vlastné a vynútené kmity

Physical Background

Harmonický oscilátor

Teleso vykonávajúce harmonický kmitavý pohyb nazývame harmonický oscilátor. Môže ním byť v prvom priblížení napríklad teleso na pružine (obr. 1), alebo atóm či molekula pevnej látky. Ak pri jeho pohybe zanedbáme odpor prostredia, hovoríme o netlmenom harmonickom oscilátore. Môžeme ukázať, že kmitanie je vždy harmonické, ak je pôsobiaca sila úmerná výchylke z rovnovážnej polohy. A body making an oscillatory harmonic motion is called the harmonic oscillator. At the first approximation it may be e.g. a body suspended on a spring (Fig. 1) or an atom or a molecule of a solid.

Majme pružinu, na ktorej natiahnutie o r je potrebná sila F = -kr, kde k je tuhosť pružiny. Pohybová rovnica harmonického oscilátora, ktorý je tvorený touto pružinou a závažím hmotnosti m, je (ako aplikácia druhého Newtonovho zákona ΣF = ma):

Substitúciou ω₀ = (k/m)^1/2 možno vzťah (1) vyjadriť v tvare: Všeobecným riešením tejto rovnice je potom v jednorozmernom prípade v smere osi y (r = jy) kde y je okamžitá výchylka, A je amplitúda pohybu, [A] = m, ω_o je vlastná uhlová rýchlosť harmonického oscilátora [ω_o] = rad s⁻¹ a φ, [φ] = rad, je jeho počiatočná fáza (obr. 2).

Pre vlastnú uhlovú rýchlosť harmonického oscilátora môžeme napísať:

kde f_o je vlastná frekvencia a T_o vlastná perióda harmonického oscilátora.

Tlmený oscilátor

Pri pohybe harmonického oscilátora v reálnych podmienkach pôsobia vždy trecie sily, ktoré amplitúdu kmitavého pohybu zmenšujú a po určitom čase kmitanie prestane. Taký oscilátor nazývame tlmený oscilátor.

Trecia sila je pri malých rýchlostiach priamo úmerná okamžitej rýchlosti telesa v hmotnosti m:

Zaveďme veličinu b = k_b/(2m), ktorá sa nazýva konštanta útlmu, [b] = s⁻¹. Pre malé tlmenie (b < ω_o) má rovnica (6) riešenie, (ak si uvedomíme, že podľa obr. 3 platí r = jy):

kde ω_v je vlastná frekvencia tlmeného oscilátora ω_v = (ω_o² − b²)^1/2.

Vynútené kmity oscilátora

Významným prípadom kmitavého pohybu je takzvané vynútené kmitanie, pri ktorom vonkajšia sila núti látkový objekt kmitať s všeobecne iným kmitočtom ako je kmitočet vlastných kmitov. Ak sa však oba kmitočty k sebe približujú, vzniká dôležitý jav, ktorý nazývame rezonancia. Predpokladajme, že na závažie z obr. 1 pôsobí vynucujúca periodická sila:

kde F_o je amplitúda a ω_v je uhlová frekvencia vynucujúcej sily F_v.

Ak zvážime všetky sily, ktoré spôsobujú pohyb závažia, môžeme napísať pohybovú rovnicu pre pohyb v osi y: If all the forces that make the weight to move are considered, the following equation of the motion may be written

a po úprave: Riešením tejto rovnice je kde A_v a φ_v sú amplitúda a počiatočná fáza vynútených kmitov:

Z grafov na obr. 6 vyplýva množstvo zaujímavých poznatkov pre vynútený harmonický pohyb. Po prvé, je zrejmé, že amplitúda vynútených kmitov A_v (pozri obr. 6 a) je funkciou uhlovej frekvencie ω_v vynucujúcej sily. Maximum amplitúdy pre vynútený harmonický pohyb nastáva pre takzvanú rezonančnú frekvenciu:

kedy amplitúda A_{v res} = F_o / (m2b(ω_o² - b²)^1/2. Rovnako fáza vynútených kmitov φ_v, (alebo fázový posun medzi vynucujúcou silou F_v a výchylkou vynútených kmitov y), je závislá na frekvencii vynucujúcej sily ω_v, a pri rezonancii sa rovná φ_{v res} = -π/2. (Pozri obr. 6 b). Túto závislosť využijeme aj pre meranie.

Závislosti na obr. 6 možno využiť na určenie prenosu energie na oscilátor. Tento proces je veľmi dôležitý v prírode a vo všeobecnosti v technológiách, pretože reprezentuje selektívny prenos energie medzi vysielačom energie a oscilátorom len v istých intervaloch frekvencií, resp. vlnových dĺžok. Tento jav tvorí napr. základ selektívneho prenosu telekomunikačných signálov, alebo absorpcie určitých vlnových dĺžok žiarenia zo Slnka určitými molekulami, ktoré, mimo iného, dosiahnu povrch Zeme.

Prenos energie za jednotku času na oscilátor (alebo okamžitý výkon P_v, ktorý je funkciou času) z vynucujúceho zdroja je:

Stredná hodnota energie prenesená za jednu periódu harmonického pohybu oscilátora zo zdroja vynucujúcej sily na oscilátor závisí od uhlovej frekvencie vynucujúcej sily ω_v. Viac informácii možno nájsť v práci R. B. Lindsay, Physical Mechanics, 3rd ed., Van Nostrand 1962).

Obr. 7 prezentuje prenos strednej hodnoty energie počas jednej periódy harmonického pohybu na oscilátor zo zdroja vynucujúcej sily ako funkciu uhlovej frekvencie ω_v, pre dve rôzne hodnoty tlmenia b.

---